機械語と進数¶
はじめに¶
本サイトにつきまして、以下をご認識のほど宜しくお願いいたします。
01. 機械語と2進数の関係¶
機械語とは¶
あらゆる情報を『0』と『1』の2進数を機械語として、CPUに対して、命令が実行される。
様々な進数とbitの関係¶
しかし、人間が扱う上では8進数あるいは16進数に変換して表すことが適している。
2進数1ケタが『1bit』と定義されている。
8進数の1ケタは2進数の3ケタ (=3bit) に相当し、16進数の1ケタは2進数の4ケタ (4bit) に相当する。
なぜ８bitを1Byteとするのか？ (半角英数字とbitの関係)¶
8bitを一区切りとして、1Byteと表す。
これは、半角英数字一文字が８bitのデータサイズを持つからである。
Byte単位¶
1000 Byte = 1k Byte
一般的なCPUが扱える情報の種数¶
CPUでは、各データは2進法によって区別されている。CPUは4 、8、16、32-bitバージョンと進歩し、2008年の後半からは 64-bitバージョンのCPUが普及し始めた。1-bitは2種類の情報を表せるため、32-bitのCPUでは2^32、64-bitでは2^64の種類の情報を扱える。
01-02. 機械語命令の種類¶
設定命令¶
▼ 実行アドレスをレジスタに設定する場合¶
▼ 実行アドレスが指す語の内容をレジスタに設定する場合¶
▼ レジスタの内容を実行アドレスに格納する場合¶
シフト命令¶
計算命令¶
レジスタから取り出した値を別の値と足し、その結果を元のレジスタに設定すること。
論理演算命令¶
01-03. シフト命令¶
論理左シフト¶
最上位に正負を表す『符号bit』を設定せずに、シフトを実行する。
２進数の場合…
左に1bitシフトすると『2倍』
左に1bitシフトし、元の値を足すを『3倍』
左に2bitシフトすると『4倍』
左に2bitシフトし、元の値を足すと『5倍』
左に2bitシフトし、元の値を足して『5倍』。
加えて2bitシフトすると『10倍』
左に3bitシフトすると『8倍』
▼ 正の数の場合¶
＊例＊
00011100
▼ 負の数の場合¶
＊例＊
11100100
論理右シフト¶
最上位に正負を表す『符号bit』を設定せずに、シフトを実行する。
２進数の場合…
右に1bitシフトすると『1/2』
右に2bitシフトすると『1/4』
右に3bitシフトすると『1/8』
▼ 正の数の場合¶
＊例＊
00011100
▼ 負の数の場合 (計算はできない)¶
＊例＊
11100100
負の数で論理右シフトを実行する場合、間違った計算が行われてしまう。
こういう場合、算術シフトが使用される。
算術左シフト¶
最上位に正負を表す『符号bit』を設定し、シフトを実行する。
２進数の場合…
左に1bitシフトすると『2倍』
左に1bitシフトし、元の値を足すを『3倍』
左に2bitシフトすると『4倍』
左に2bitシフトし、元の値を足すと『5倍』
左に2bitシフトし、元の値を足して『5倍』。
加えて2bitシフトすると『10倍』
左に3bitシフトすると『8倍』
▼ 正の数の場合¶
＊例＊
00011100
▼ 負の数の場合¶
＊例＊
00011100
算術右シフト¶
２進数の場合…
最上位に正負を表す『符号bit』を設定し、シフトを実行する。
右に1bitシフトすると『1/2』
右に2bitシフトすると『1/4』
右に3bitシフトすると『1/8』
▼ 正の数の場合¶
＊例＊
00011100
▼ 負の数の場合¶
01-04. 機械語命令の実行手順¶
実行手順¶
(1)-
16進数が2進数に変換され、記号へ値が割り当てられる。 (ビット分割)
(2)-
記号の値を基に、実行アドレスの計算方法が選択され、実行される。 (実行アドレスの計算)
(3)-
実行アドレスを基に、機械語命令が実行され、値がレジスタやメモリに書き留められる。 (機械語命令のトレース)
(1)¶
- ビット分割
＊例＊
命令：20B3h
▼ 16進数の2進数への変換¶
▼ 記号への値の割り当て¶
(2)¶
- 実効アドレスの計算
▼ 実行アドレスの計算方法の選択¶
『X=2』、『I = 1』より、表の網掛けの計算式を選択。
▼ 実効アドレスの計算の実行¶
ここに、レジスタ番号と内容の表を張る。
(実効アドレス) = [adr + [X] ]
= [1000h + [レジスタ2] ] (※配列のように、レジスタ2の値を参照)
= [1000h + 0002h]
= [1002h]
= 1003h
(3)¶
- 機械語命令のトレース
01-05. 構文解析における数式の認識方法¶
逆ポーランド表記法 (後置表記法)¶
演算子 (例：+、-、×、÷など) を被演算子 (数値や変数、また計算の結果) の後ろに書くことにより、数式を表す方法。
補足として、人間が使用している表記方法は、『中置記法』という。
＊例＊
Y = ( A + B ) × ( C － ( D ÷ E ) )
(1)-
括弧は先に計算するので塊と見なす。
( A + B ) ⇒ AB+
(2)-
括弧は先に計算するので塊と見なす。
( D ÷ E ) ⇒ DE ÷
(3)-
括弧は先に計算するので塊と見なす。
( AB + ) × ( C - DE ÷ ) ⇒ (AB +) (CDE÷-) ×
(4)-
括弧を外しても、塊はそのまま。
(AB+) (CDE÷-) × ⇒ AB+CDE÷－×
(5)-
左辺と右辺をそれぞれ塊と見なす。
Y = AB+CDE÷-× ⇒ YAB+CDE÷-×=
01-06. CPUにおける小数の処理方法¶
固定小数点数¶
『この位置に小数点がある』な前提で数字を扱うことによって、小数点を含む数値を表す方法。
CPUは、数値に対し、特定の位置に小数点を打つ。
浮動小数点数¶
指数表記を使用することによって、小数点を含む数値を表す方法。
▼ 正規化した数式から浮動小数点数への変換¶
▼ 浮動小数点数から正規化した数式への変換¶
指数部と仮数部を調節して、できるだけ仮数部の上位桁に0が入らないようにして、誤差を少なくすること。例えば、ある計算の結果が0.012345×10^-3だった場合、仮数部を0.1～1の範囲に収めるために0.12345×10^-4に変更する。
01-07. 誤差¶
『誤差』：実際の数値とCPUが表現できる数値の間に生じるズレのこと。
無限小数¶
桁溢れ誤差¶
＊例＊
初代ドラクエ
初代のドラゴンクエストの経験値の上限は『65535』だった。
これは、経験値が16bit (2 Byte) で表されており、桁溢れが起きることを防ぐために65535以上は計算しないようになっていた。
情報落ち¶
打切り誤差¶
円周率は、途中で計算を打ち切る。
桁落ち¶
丸め誤差¶
02. N 進数 ➔ 10進数 (重み掛けを実行する)¶
16進数 ➔ 10進数¶
▼ 整数¶
＊例＊『CA125』
(1)-
『
(16^0 × 5) + (16^1 × 2) + (16^2 × 1) + (16^3 × A) + (16^4 × C)』というように、下の位から、順に16^Nをかけていく。 (AとCは、10進数に変換して『10』と『12』) (2)-
(1×5) + (16×2) + (256×1) + (4096×10) + (65536×12) = 827685
▼ 少数¶
2進数 ➔ 10進数¶
▼ 整数¶
『1101101』
(1)-
『
(2^0 × 1) + (2^1 × 0) + (2^2 × 1) + (2^3 × 1) + (2^4 × 0) + (2^5 × 1) + (2^6 × 1)』というように、下の位から、順に2^Nをかけていく。
▼ 少数¶
02-02. 10進数 ➔ N 進数 (Nで割り続ける)¶
10進数 ➔ 16進数¶
▼ 整数¶
＊例＊『27』
(1)-
27を16で割り続ける。 (2)-
16進数で10～15は、A～Fで表記されるため、
11をBで表記。 (3)-
余りを並べ、答えは『1B』
▼ 少数¶
＊例＊『0.1015625』
(1)-
『
0.1015625』に16をかけ、整数部分を取り出す。 (0.1015625 × 16 = 1.625。『1』を取り出し、16進数に変換して『1』) (2)-
計算結果の少数部分に16を加えてかける。少数部分が0になるまで、これを繰り返す。 (
0.625 × 16 = 10.0より、『10』を取り出し、16進数に変換して『A』) (3)-
少数部分が0になったため、取り出した数を順に並べ、答えは『0.1A』
10進数 ➔ 2進数¶
▼ 整数¶
＊例＊『109』
▼ 少数¶
02-03. X 進数 ➔ 10進数 ➔ Y 進数¶
一度、10進数に変換してから、任意の進数に変換する。
16進数 ➔ 2進数¶
▼ 整数¶
＊例＊『20B3』
(1)-
2、0、B、3を10進数に変換して、『
(16^0 × 3) + (16^1 × 11) + (16^2 × 0) + (16^3 × 2) = 8371』 (2)-
10と15を2進数に変換して、『
0010』、『0000』、『1011』、『0011』 (3)-
よって、AFは10進法に変換して『
0010000010110011』
02-04. X 進数 ➔ 10 進数 ➔ Y 進数 ➔ 10 進数¶
16進数 ➔ 2進数¶
▼ 少数¶
＊例＊
2A.4C
(1)-
整数部分の
2Aを10進数に変換して、 (2)-
42を2進数に変換して、『
101010』。また、余り計算の時、余り１を2^Nに直しておく。 (3)-
整数の場合、下位の桁から、『
(2^0 × 0) + (2^1 × 1) + (2^2 × 0) + (2^3 × 1) + (2^4 × 0) + (2^5 × 1) + (2^6 × 0) + (2^7 × 0) + (2^8 × 0)』
=『2^5+2^3+2^1』
(※16進数からの変換の場合、101010は、00101010として扱うことに注意)
(4)-
76を2進数に変換して、『1001100』。また、余り計算の時、余り１を2^Nに直しておく。
(5)-
少数部分の場合、上位の桁から、『
(2^－1 × 0) + (2^－2 × 1) + (2^－3 × 0) + (2^－4 × 0) + (2^－5 × 1) + (2^－6 × 1) + (2^－7 × 0) + (2^－8 × 0)』
=『2^-2+2^－5+2^-6』
(※16進数からの変換の場合、1001100は、01001100として扱うことに注意)
(6)-
したがって、『
2^5+2^3+2^1+2^-2+2^-5+2^-6』
03. 論理回路¶
論理式¶
以下のベン図では、集合Aと集合Bは入力が『1』の場合、外側は入力が『0』の場合を表している。
演算方法を思い出す時には、ベン図を思い出せ。
否定回路 (NOT回路) 、NOT演算、ベン図¶
丸い記号が否定を表す。
論理積回路 (AND回路) 、AND演算、ベン図¶
2個のbitを比較して、どちらも『1』なら『1』を出力。
否定論理積回路 (NAND回路) 、NAND演算、ベン図¶
2個のbitを比較して、どちらも『1』なら『0』を出力。
ベン図では両方が『1』以外の場合を指しているが、回路の出力をうまく説明できない…。
論理和回路 (OR回路) 、OR演算、ベン図¶
2個のbitを比較して、どちらかが『1』なら『1』を出力。
排他的論理和回路 (EOR回路/XOR回路) 、EOR演算、ベン図¶
2個のbitを比較して、どちらかだけが『1』なら『1』を出力。
否定論理和回路 (NOR回路) 、NOR演算、ベン図¶
2個のbitを比較して、どちらも『0』なら『1』を出力。
フリップフロップ回路¶
わかりやすい動画解説：https://www.youtube.com/watch?v=4vAGaWyGanU
SRAMの電子回路に使用している (6章を参照) 。
Set側に初期値『1』が入力される。
入力を『0』に変えても、両方の出力結果は変わらず、安定している。
Reset側に『1』を入力すると、両方の出力結果は変化する。
03-02. 論理演算命令¶
論理積¶
＊例題＊
16進数の『F』は、2進数で『0000 0000 0000 1111』で表す。
よって、000Fを使用してAND演算した場合、下位4桁を変化させずに取り出せる。
1100 1101 1111 1000
0000 0000 0000 1111
ーーーーーーーーーーー
0000 0000 0000 1000
＊例題＊
16進数の『7F』は、2進数で『0000 0000 0111 1111』で表す。
よって、7Fを使用してAND演算した場合、下位7桁を変化させずに取り出せる。
1100 1101 1111 1000
0000 0000 0111 1111
ーーーーーーーーーーー
0000 0000 0111 1000
＊例題＊
否定論理積¶
論理和¶
排他的論理和¶
否定論理和¶
＊例題＊
XとYの否定論理積 X NAND Yは、NOT(X AND Y)として定義される。
X OR YをNANDのみを使用して表した論理式はどれか。
X=0、Y=0の時にX OR Yが『0』になることから、『0』になる選択肢を探す。
▼ ((X NAND Y) NAND X) NAND Y¶
((0 NAND 0)NAND 0)NAND 0
=(1 NAND 0) NAND 0
=1 NAND 0
=1
▼ (X NAND X) NAND (Y NAND Y)¶
(0 NAND 0)NAND(0 NAND 0)
=1 NAND 1
=0
▼ (X NAND Y) NAND (X NAND Y)¶
(0 NAND 0)NAND(0 NAND 0)
=1 NAND 1
=0
▼ X NAND (Y NAND (X NAND Y))¶
0 NAND(0 NAND(0 NAND 0))
=0 NAND (0 NAND 1)
=0 NAND 1
=1